Question

如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F.

（1）求证:AC＝2BF

（2）连接DF，求证:AB垂直平分DF

（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）等腰三角形，理由见解析.

【解析】

（1）易证∠CDA=∠F，即可证明△ACD≌△CBF，可得CD=BF，易证AC=2CD，即可解题；

（2）连接DF交AB于G点，易证BD=BF，∠ABC=45°，根据△ACD≌△CBF，可求得∠ABF=45°，即可证明∴△DBG≌△FBG，可得DG=FG，∠DGB=∠FGB，即可求得∠DGB=∠FGB=90°，即可解题；

（3）由△CBF≌△ACD，得出CF=AD，由AB垂直平分DF，得出AF=AD，证得CF=AF，即可得出结论．

证明：（1）∵BF∥AC，且∠ACB＝90°

∴BC⊥BF，

又∵CF⊥AD

∴∠DCE+∠F=90°，∠DCE+∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠F，

在△ACD和△CBF中， ，

∴△ACD≌△CBF（AAS），

∴CD=BF，

∵点D是BC的中点，

∴AC=BC=2CD，

∴AC=2BF；

（2）连接DF交AB于G点，

∵点D是BC的中点，

∴AC=2BD，

∵AC=2BF，

∴BD=BF，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∵△ACD≌△CBF，

∴∠CBF=∠ACD=90°，

∴∠ABF=45°，

在△DBG和△FBG中，，

∴△DBG≌△FBG（SAS），

∴DG=FG，∠DGB=∠FGB，

∵∠DGB+∠FGB=180°，

∴∠DGB=∠FGB=90°，

∴AB垂直平分DF;

（3）连接AF

由（1）知：△CBF≌△ACD，

∴CF=AD，

由（2）知：AB垂直平分DF，

∴AF=AD，

∵CF=AD，

∴CF=AF，

∴△ACF是等腰三角形．