Question

如图，在等边三角形ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边三角形CDE，连接BE

（1）若点D在线段AM上时，求证:△ADC≌△BEC；

（2）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，

①当动点D在线段AM的延长线上时，求当∠ACE为多少度时，点B、D、E在一条直线上；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）①150°；②是，理由见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（2）①根据三角形的内角和和等边三角形的性质即可得到结论；②分情况讨论，当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；当点D在线段AM的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；当点D在线段MA的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．

证明：（1）如图：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）【解析】
①如图③

∵△ABC与△CDE是等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，CD=CE，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD与△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

又∵线段AM为BC边上的中线

∴根据等边三角形三线合一的性质可得，∠CBE=∠CAD=30°；

又∵点B、D、E在一条直线上且∠E=60°，

∴∠BCE=90°，

∴∠ACE=90°+60°=150°；

②当点D在线段AM上时，如图1所示：

由（1）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE=∠CAD=30°，
∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线
∴AM⊥BC，

∴∠BMO=90°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠CAD=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

同理可得：∠CAM=30°

∴∠CBE=∠CAD=150°

∴∠CBO=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；

综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°．