Question

如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点A，与轴交于点B，点C是直线AB上一点，它的坐标为(，2)，经过点C作直线CD∥轴交轴于点D.

(1)求点C的坐标及线段AB的长；

(2)已知点P是直线CD上一点.

①若△POC的面积是4，求点P的坐标；

②若△POC是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

Answer

（1）C（1，2），；（2）①（-2，2）或（6，2）；② （0，2）或（-4，2）

【解析】

（1）把（m，2）代入求出m的值，即可求出点C坐标，求出A、B两点坐标，利用勾股定理即可求出AB的长；

（2）①利用三角形的面积公式求出PC的长即可解决问题，注意两解；

②分两种情形讨论即可①P是直角顶点，②O是直角顶点．

【解析】
（1）把（m，2）代入得-2m+4=2，

∴m=1，

∴C（1，2），

当x=0时，y=4;

当y=0时，-2x+4=0，即x=2,

∴OA=2,OB=4,

在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，

∴AB=．

（2）①∵OD⊥CP，

∴△POC的高是2，

∴S△POC=•CP•OD=4，

∵OD=2，

∴CP=4，

∴P点坐标是（-2，2）或（6，2）．

②∵∠OCP一定不是直角，

∴当∠OPC=90°时，点P恰好在点D，

∴P1（0，2）．

设直线OC的解析式为y=kx，

把C（1，2）代入得

k=2,

∴k=2，

y=2x，

∴直线OP的解析式为y=-x，

∴y=2时，x=-4，

∴P2（-4，2）．

∴P点坐标是（0，2）或（-4，2）．