Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上，且CF＝DE．

（1）求证：△CEF是等腰三角形；

（2）连接AD，当AD⊥BC，BC＝8，△CEF的周长为16时，求△DEF的周长．

Answer

（1）见解析；（2）20

【解析】

（1）由DE∥AB，可证得DE＝EC，由已知，可证得CE＝CF，从而证明了△CEF是等腰三角形；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质得CD＝BC＝4，由△DEF的周长＝△DEF周长+CD，即可求解.

（1）∵△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵ED∥AB，

∴∠EDC＝∠B，

∴∠EDC＝∠ECD，

∴DE＝EC，

∵CF＝DE，

∴CE＝CF，

∴△CEF是等腰三角形；

（2）连接AD，当AD⊥BC时，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝BC＝4，

∵△DEF周长＝DE+DF+EF，

DE＝CE，DF＝CF+CD，

∴△DEF的周长＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周长+CD＝16+4＝20．