Question

如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，连接BE交AC于点F，连接AD交CE于点G，连接FG．

（1）求证：AD＝BE；

（2）求证：△ACG≌△BCF；

（3）试猜想△CFG的形状，并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）△CFG是等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）根据△ABC和△CDE是等边三角形，得AC＝BC，EC＝CD，∠BCE＝∠ACD，根据SAS得到△BEC≌△ADC，从而证得结论；

（2）由（1）中的结论△BEC≌△ADC，得∠CAG＝∠CBF，结合等边三角形的性质，可证得结论；

（3）根据(2)的结论及∠FCG＝60°，可推出△CFG是等边三角形.

（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，

∴BC ＝AC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠BCE＝∠ACD．

在△BEC和△ADC中，

，

∴△BEC≌△ADC（SAS），

∴BE＝AD．

（2）∵△BCE≌△ACD（已证），

∴∠CAG＝∠CBF

在△BCF和△ACG中，

，

∴△BCF≌△ACG（ASA），

（3）∵△BCF≌△ACG，

∴CF＝CG．

又∵∠FCG＝60°，

∴△CFG是等边三角形；