Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ADB＝45°

（1）求证：BD⊥CD；

（2）若BD＝6，CD＝2，求四边形ABCD的面积．

Answer

（1）见解析；（2）16

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的判定和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．

（1）

过A作AE⊥AD，交DB的延长线于E，

∴∠EAD＝90°，

∵∠ADB＝45°，

∴∠AED＝45°

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝AD，

∵∠EAD＝∠BAC＝90°，

∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，

即∠EAB＝∠DAC，

在△AEB与△ADC中

，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

∴∠E＝∠ADC＝45°，

∴∠BDC＝∠BDA+∠ADC＝45°+45°＝90°，

∴BD⊥CD．

（2）由（1）可知，四边形ABCD的面积等于△AED的面积，S△AED＝DE2＝16．