Question

在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m²+2n²﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．

（1）求点M的坐标；

（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；

（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．

Answer

(1) 点M的坐标为（﹣2，﹣2）；(2)不变,a=-4；(3) 45°

【解析】

（1）根据非负数的性质分别求出m、n，得到点M的坐标；
（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，证明△CBO≌△ACT，根据全等三角形的性质得到CT=BO=-b，AT=CO=t，根据等腰直角三角形的性质得到∴M为AB中点，根据中点的性质计算，得到答案；
（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，证明△HTM≌△NMO，根据全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可．

（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，

m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，

（m﹣n）2+（n+2）2＝0，

则m﹣n＝0，n+2＝0，

解得，m＝﹣2，n＝﹣2，

∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，

在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，

∴CA＝CB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACT+∠TCB＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠BCO+∠TCB＝90°，

∴∠ACT＝∠CBO，

在△CBO和△ACT中，

，

∴△CBO≌△ACT（AAS），

∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，

∴a＝b+t，

∵DO＝DM，

∴∠DOM＝45°，

∴∠MOC＝135°，

∴∠MOC+∠ABC＝180°，

∴O、M、B、C四点共圆，

∴∠CMB＝∠COB＝90°，

∵CA＝CB，

∴M为AB中点，

∴b+t＝﹣4，

∴a＝﹣4；

（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，

由（2）可知T（﹣4，0），

∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），

∴△TMO为等腰直角三角形，

∴MT＝MO，

∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，

∴∠TMH＝∠MON，

在△HTM和△NMO中，

，

∴△HTM≌△NMO（AAS），

∴HT＝MN，HM＝ON，

∴HK＝KN，

∴KN＝ON，

∴∠OKB＝45°．