Question

如图，在四边形中，，，，是的中点，将绕点旋转，当（即）与交于一点，（）同时与交于一点时，点，和点构成，在此过程中，周长的最小值是__________．

Answer

【解析】

连接AM，过点D作DN⊥CM于N，AQ⊥BM于Q，首先易证四边形AQND是平行四边形，四边形ABCD是等腰梯形，然后根据含30度直角三角形的性质可得CN=2，BQ=2，求出CM=CD，证明△CMD、△ABM、△AMD是等边三角形，然后可得∠BME＝∠AMF，利用ASA证明△BME≌△AMF，求出BE=AF，即可得到AE+AF=AE+BE=AB=4，故当ME最短时，的周长最小，此时ME⊥AB，根据等边三角形的性质和勾股定理求出ME即可.

【解析】
如图，连接AM，过点D作DN⊥CM于N，AQ⊥BM于Q，

∴AQ∥DN，

∵AD∥BC，，

∴四边形AQND是平行四边形，四边形ABCD是等腰梯形，

∴QN=AD=4，，

∴CN=，BQ=，

∴BC=BQ+QN+CN=2+4+2=8，即BC=2CD，

∵是的中点，

∴CM=CD，

∴△CMD是等边三角形，

同理可得△ABM是等边三角形，

∴△AMD是等边三角形，

∴∠BMA＝∠DMC＝∠EMF＝60°，

∴∠BME＝∠AMF，

在△BME和△AMF中，，

∴△BME≌△AMF（ASA），

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=4，

∴当ME最短时，的周长最小，

即ME⊥AB时，的周长最小，

∵△ABM是等边三角形，BM=AM=4，

∴ME⊥AB时，BE=2，

∴，

∴△AEF的周长最小值为，

故答案为：.