Question

已知，如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且经过点

(1)求该抛物线的解析式，顶点坐标和对称轴；

(2)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等(点不与点重合)？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）该二次函数的解析式是y=-x2+4x+5，顶点坐标是（2，9），对称轴是x=2；（2）存在，D点坐标为（4,5）或或.

【解析】

（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求解，即可求得b和c的值，可得二次函数解析式，再将解析式化为顶点式即可得函数的顶点坐标和对称轴；

（2）△ABC和△ABD的底都是AB，所以它们的面积若相等，高就要相等，由图可知此时D点和C点到x轴距离要相等，即，由此可得函数解析式.

【解析】
（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点（0，5）、B（1，8），

∴将（0，5）、B（1，8）代入到y=-x2+bx+c中得

解这个方程组，得

∴该二次函数的解析式是y=-x2+4x+5，
∵y=-x2+4x+5= -（x-2）2+9，
∴顶点坐标是（2，9），对称轴是x=2；
（3）存在，

∵△ABC和△ABD的底都是AB，

∴若S△ABC=S△ABD，D点距离x轴的距离与C点距离x轴距离相等

∴D点的纵坐标为5或-5，

当y=5时，，解得（舍），，此时D坐标为（4,5）；

当y=-5时，，解得，

此时点D坐标为或

故D点坐标为（4,5）或或.