Question

如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点是抛物线上的动点，点是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2+2x-3；（2）存在，P点坐标为，，.

【解析】

（1）将A（1，0），B（0，-3）代入，利用待定系数法可求其解析式；

（2）先分别计算函数对称轴求出Q点横坐标，根据对称轴和A点求出C点坐标，根据以点，，，为顶点的平行四边形以AC为边和以点，，，为顶点的平行四边形以AC为对角线分情况讨论.

【解析】
（1）把A（1，0），B（0，-3）代入，
得 解得

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；

（2）对于y=x2+2x-3，

∵，A(1，0)

∴C点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.

如下图所示：

若以点，，，为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.

①当P点的横坐标为时，，即

②当P点的横坐标为时，，即 ；

若以点，，，为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设的横坐标为x3，则有，解得，，即

故存在，P点坐标为，，.