Question

如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线的解析式；

(3)若点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，以，，为顶点的三角形是否能够与相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为；

（2）直线的解析式；

（3）点的坐标为、或．

【解析】

(1)把点坐标代入抛物线求得抛物线的解析式即可；

(2)求出抛物线的对称轴，再求得点、坐标，设直线的解析式为，再把两点坐标代入线的解析式为，求得和即可；

(3)设，分两种情况讨论：①，②，根据相似，得出比例式，再分别求得点坐标即可．

【解析】
(1)点在抛物线上，

，

，

抛物线的解析式为；

(2)抛物线的对称轴为直线，

点，，

设直线的解析式为，

把、两点坐标代入线的解析式为，得

，

解得，，

直线的解析式；

(3)设，分三种情况讨论：

①当时，如图1，

，

即，

解得，(不合题意，舍去)，

点坐标；

②当时，如图2，

，

即，

解得，(不合题意舍去)，

点坐标；

③当在第二象限时，如下图

在轴的负半轴上，

，

，

，

即，

得到

解得(舍去)；，

点的坐标为

综上所述，点的坐标为、或．