Question

问题提出：

(1)如图①，在正方形中，，点，分别在，上，连接，若，，以为斜边，向下作直角三角形，则在边上存在         个符合条件的直角顶点；

问题探究：

(2)如图②，在(1)的条件下，是符合题意的一个直角三角形，求的面积；

问题解决：

(3)某小区有一个边长为40米的正方形活动区域，小区物业在一面墙的处安装台监控器，该监控器的视角为，监控器可以左右来回转动，并且可以监控该区域的每一个地方．如图③，正方形是过点的一个水平面，，与正方形在同一个平面内，连接，若为的中点，请你确定面积的最值．

Answer

(1)2;(2);(3) 的面积最大值为500，最小值为400.

【解析】

(1) 过F作FH⊥DC与DC相交于H,设BE=x，分别在Rt△GHF、Rt△BEF和Rt△ECG利用勾股定理表示FE2、EG2、FG2,根据BC上存在点E使得为直角三角形，则需满足，化简后的式子为一元二次方程，根据方程的解有两个，即可判断这样的点有两个；

（2）根据（1）中可求得BE=1，分别求出EF和EG即可求出的面积；

（3）分G在AD上和G在CD上两种情况讨论.可借助“割补法”表示的面积，根据a的取值范围可分别求得面积的最大值和最小值.

(1)如图过F作FH⊥DC与DC相交于H，

∴∠FHC=∠FHG=90°

∵四边形为正方形，

∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4，

∴四边形为矩形，

∴,FH=BC=4.

∵，

∴

在Rt△GHG中根据勾股定理

.

假设BC上存在E，且BE=x，则EC=4-x.

则在Rt△BEF和Rt△ECG中根据勾股定理

，

.

要使△EFG为直角三角形，则根据勾股定理的逆定理

即

化简得

∵

∴该方程有两个不相等的解，即符合条件的E点有两个

故填：2.

（2）解得

∵

∴BE=1，

此时，即FE= ，

，即

∴的面积=.

(3)分两种情况讨论：

①如下图，当G点在AD上运动时，连接FG，过G点作GH⊥BC，与BC相交于H.

∴∠GHE=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∵，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∵∠B=∠GHE=90°，

∴Rt△BEF∽Rt△HGE

∴,

设BF=a，则EH=2a

∵EH≤EC=20

∴0≤x≤10

此时，当a=10时，取得最大值.当a=0时，取得最小值.

②如下图，时，G在CD上时，连接FG以FG中点O为圆心以OF为半径作圆，

∵∠FEG=90°，

∴E点在⊙O上

设BF=a，CG=b，

∵E为BC中点，FO=OG

∴，

∴FG=2OF=a+b

当FG//BC时，⊙O的半径最小，即a+b最小此时a+b=FG=BC=40，；

与①同理可证Rt△BEF∽Rt△CGE

∴,即

即，a与b成反比例函数关系，

⊙O与DC相交于I，连接FI，

∴∠FIG=90°

∵∠B=∠C=90°

∴四边形BCIF为矩形，

∴IC=BF=a，GI=GC-IC=b-a

在Rt△FIG中，根据勾股定理

,即

∴当|b-a|最大时a+b的值最大，

∵

∴当a=10，b=40，a+b=50，

或a=40时，b=10，a+b=50，此时最大，最大为500.

综合①②，的面积最大值为500，最小值为400.