Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，过点P作平行于y轴的直线PM，交线段BC于M，当△PCM是以PM为腰的等腰三角形时，点P的坐标是（　　）

A.（2，-3）或（+1，—2） B.（2，-3）或（，-1-2）

C.（2，-3）或（，-1-2） D.（2，-3）或（3-，2-4）

Answer

D

【解析】

根据待定系数法，求得函数解析式，然后求出直线BC的解析式，设设M（n，n-3），P（n，n2-2n-3），分情况讨论，结合勾股定理得方程，从而解方程求得n的值，确定点P的坐标.

【解析】
将B（3,0），C（0，-3）代入函数解析式，得

，

解得 ，

∴这个二次函数的表达式；

由题意可知：点P在第四象限

设BC的解析式为y=kx+b，

将B（3,0），C（0，-3）的坐标代入函数解析式，得 ，

解得 ，

∴BC的解析式为y=x-3，

过点P做PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC

设M（n，n-3），P（n，n2-2n-3），
PM=（n-3）-（n2-2n-3）=-n2+3n=

当PM=PC时，根据勾股定理可得：

，

解得n1=n2=0（不符合题意，舍），n3=2，

n2-2n-3=-3，

∴P（2，-3）．

当PM=MC时，根据勾股定理可得：

解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3-，n3=3+（不符合题意，舍），
n2-2n-3=2-4，

P（3-，2-4）

综上所述：P（2，-3）或（3-，2-4）．

故选：D