Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．已知顶点P的坐标为（-3，-4），线段PC之长为3

(1)求二次函数解析式。

(2)M为直线l上一点，且以M,C,O为顶点的三角形与以A,C,O为顶点的三角形相似，请直接写出点M的坐标。

(3)直线l上是否存在点D，使△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） ；（2） ；(3) 存在，

【解析】

（1）利用勾股定理求出C点坐标，然后将抛物线解析式写成顶点式，再化为一般式；（2）求出A,B两点的坐标，根据题意可知△ACO和△MCO均为直角三角形

，然后分情况讨论两个两个三角形相似列出比例式，从而求解（3）待定系数法求直线PC的解析式为y=3x+5，设直线交x轴于E，则E（，0），设直线PQ交x轴于F，当BD=3AF时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，分两种情形分别求解即可解决问题．

【解析】
（1）过点P作PH⊥y轴

∵顶点P的坐标为（-3，-4）

∴PH=3，OH=4

设OC=x

在Rt△PCH中，

∴

解得：（负值舍去）

∴点C的坐标为（0,5）

设函数解析式

将（0,5）代入，

解得：a=1

∴函数解析式为

（2）在中，当y=0时

解得：

所以A（-1,0）；B(-5,0)

点M在直线l上

由题意可知△ACO和△MCO均为直角三角形

设M（x,5）

∴当时，两个三角形相似

∴

解得：

当时，两个三角形相似

∴

解得：

∴点M的坐标为或或或

（3）设直线PC的解析式为y=kx+b，

则有

解得 

∴直线PC的解析式y=3x+5，

设直线交x轴于E，则E（−，0），

设直线PD交x轴于F，当BF=3AE时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，

∵A(-1,0)，B(-5,0)

∴AE=，

∴BF=2

∴F（-3，0）或F'（-7，0）

当F（-3，0）时，直线PF垂直于x轴，

∴D（-3，5）

当F'（-7，0）时，直线PF'的解析式为y=-x-7，

∴D'（-12，5）．

综上所述，满足条件的点D（-3，5），D'（-12，5）．