Question

已知等腰中，，点从点出发在线段移动，以为腰作等腰，，连接.

（1）如图，求证：≌；

（2）求证：；

（3）若，试问：的面积有没有最大值，如没有请说明理由，如有请求出最大值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最小时，最大，最大值为

【解析】

（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则有∠BAD=∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；

（2）由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°，从而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；由勾股定理得，，从而可得结论；

（3）由△ACE≌△ABD可得，当最小时，最大，从而可得结论.

（1）∵和都是等腰，

∴，，，

∴，

在和中，

，

∴≌；

（2）∵△ACE≌△ABD，

∴∠ACE=∠ABD=45°，

∵是等腰三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴中，，

在中，，，

∴，

∴

（3）∵△ACE≌△ABD，

∴=，

而

所以，当最小时，最大，如图，当AD’⊥BC时，最小，

∵AB=4，∴AD’=ABcos45°=2

∴=×AD’2=4

∴最大为8-4=.