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如图,在平面直角坐标系中,△AOP为等边三角形,A(0,2),点B为y轴上一动点...

如图,在平面直角坐标系中,AOP为等边三角形,A(02),点By轴上一动点,以BP为边作等边PBC,延长CAx轴于点E.

(1)求证:OBAC

(2)CAP的度数是;

(3)B点运动时,猜想AE的长度是否发生变化?并说明理由;

(4)(3)的条件下,在y轴上存在点Q,使得AEQ为等腰三角形,请写出点Q的坐标.

 

(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析;(4)答案见解析. 【解析】 (1)根据等边三角形性质得出OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,求出∠OPB=∠APC,证出△PBO≌△PCA即可;(2)当点B在y轴正半轴上时,由(1)知∠PBO=∠PCA,根据∠BAC=∠BPC=60°,当点B在y轴负半轴上时,判断出△APC≌△OPB(SAS),即可求出答案;(3)∠EAO=60°,求出∠AEO=30°,得出AE=2AO,求出即可;(4)分点Q在y轴正半轴和负半轴两种情况计算即可. 【解析】 (1)证明:∵△AOP,△PBC均为等边三角形, ∴OP=AP,BP=PC,∠OPA=∠BPC=60°. ∴∠OPA+∠APB=∠APB+BPC,即∠OPB=∠APC. 在△PBO和△PCA中, ∴△PBO≌△PCA(SAS).∴OB=AC. (2)当点B在y轴正半轴上时, 由(1)知∠PBO=∠PCA, ∴∠BAC=∠BPC=60°, 又∵∠OAP=60°, ∴∠CAP=60°. 当点B在y轴负半轴上时,如图, ∵△AOP和△BCP是等边三角形, ∴AP=OP,PC=PB,∠AOP=∠APO=∠BPC=60°, ∴∠APC=∠OPB, ∴△APC≌△OPB(SAS), ∴∠CAP=∠BOP=180°-∠AOP=120°, ∵延长CA交x轴于点E, ∴此种情况不符合题意,舍去, 故∠CAP的度数是60°; (3)当点B运动时,AE的长度不会发生变化.理由如下: ∵∠CAP=60°,∠PAO=60°, ∴∠EAO=180°-60°-60°=60°. ∵∠AOE=90°,∴∠AEO=30°.∴AE=2AO. ∵A(0,2),∴OA=2.∴AE=4. ∴当B点运动时,AE的长度不发生变化,为4. (4) 由(3)知,AE=4,∠OAE=60°, 当点Q在y轴负半轴时, ∵OA⊥AE, ∴点Q与点A关于x轴对称, ∴Q(0,-2), 当点Q在y轴正半轴时,EQ=AE=4, ∴OQ=OA+EQ=6, ∴Q(0,6). 即:满足条件的点Q的坐标为(0,-2)或(0,6).
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如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D为直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE90°,ADAE

1)如果ABAC,∠BAC90°.①当点D在线段BC上时,如图1,线段CEBD的位置关系为___________,数量关系为___________

②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由.

2)如图3,如果ABAC,∠BAC90°,点D在线段BC上运动.探究:当∠ACB多少度时,CEBC?请说明理由.

 

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下面是售货员与小丽的对话:

根据对话内容解答下列问题:

(1)AB两种文具的单价各是多少元?

(2)若购买AB两种文具共20件,其中A种文具的数量少于10件,且购买总费用不超过260元,共有哪几种购买方案?

 

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定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为快乐分式”.如:,则 快乐分式

(1)下列式子中,属于快乐分式的是                        (填序号);

   ,②  ,③       ,④  .

2)将快乐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为: =                     .

3)应用:先化简 ,并求x取什么整数时,该式的值为整数.

 

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已知,如图所示,于点E于点F,求证:.

 

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先化简,再求值:,其中x从-2≤x≤1范围内选取一个合适的整数.

 

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