Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，2)，点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E.

(1)求证：OB＝AC；

(2)∠CAP的度数是；

(3)当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？并说明理由；

(4)在(3)的条件下，在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标．

Answer

（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.

【解析】

(1）根据等边三角形性质得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出∠OPB=∠APC，证出△PBO≌△PCA即可；（2）当点B在y轴正半轴上时，由（1）知∠PBO=∠PCA，根据∠BAC=∠BPC=60°，当点B在y轴负半轴上时，判断出△APC≌△OPB（SAS），即可求出答案;（3）∠EAO=60°，求出∠AEO=30°，得出AE=2AO，求出即可;（4）分点Q在y轴正半轴和负半轴两种情况计算即可．

【解析】
(1)证明：∵△AOP，△PBC均为等边三角形，

∴OP＝AP，BP＝PC，∠OPA＝∠BPC＝60°.

∴∠OPA＋∠APB＝∠APB＋BPC，即∠OPB＝∠APC.

在△PBO和△PCA中，

∴△PBO≌△PCA(SAS)．∴OB＝AC.

(2)当点B在y轴正半轴上时，

由（1）知∠PBO=∠PCA，

∴∠BAC=∠BPC=60°，

又∵∠OAP=60°，

∴∠CAP=60°．

当点B在y轴负半轴上时，如图，

∵△AOP和△BCP是等边三角形，

∴AP=OP，PC=PB，∠AOP=∠APO=∠BPC=60°，

∴∠APC=∠OPB，

∴△APC≌△OPB（SAS），

∴∠CAP=∠BOP=180°-∠AOP=120°，

∵延长CA交x轴于点E，

∴此种情况不符合题意，舍去，

故∠CAP的度数是60°；

(3)当点B运动时，AE的长度不会发生变化．理由如下：

∵∠CAP＝60°，∠PAO＝60°，

∴∠EAO＝180°－60°－60°＝60°.

∵∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°.∴AE＝2AO.

∵A(0，2)，∴OA＝2.∴AE＝4.

∴当B点运动时，AE的长度不发生变化，为4.

(4) 由（3）知，AE=4，∠OAE=60°，

当点Q在y轴负半轴时，

∵OA⊥AE，

∴点Q与点A关于x轴对称，

∴Q（0，-2），

当点Q在y轴正半轴时，EQ=AE=4，

∴OQ=OA+EQ=6，

∴Q（0，6）．

即：满足条件的点Q的坐标为（0，-2）或（0，6）．