Question

将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1，A2，…，A_n 分别是正方形对角线的交点，则 6 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（      ）cm²．

A. B.1 C. D.（）⁵

Answer

A

【解析】

根据题意可得,阴影部分的面积是正方形的面积的,已知两个正方形可得到一个阴影部分,则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和

如图，过正方形 ABCD 的中心 O 作 OM⊥CD 于 M，作 ON⊥BC 于N，则∠EOM＝∠FON，∠OM＝ON，在△OEM 和△OFN 中，

,

∴△OEM≌△OFN（ASA），

则四边形 OECF 的面积就等于正方形 OMCN 的面积，

如正方形 ABCD 的边长是 1，则 OMCN 的面积是，

∴得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是，

5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，∴n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1），

∴6 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×5＝ ． 故选A．