Question

已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．

（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；

（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45度时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．

Answer

（1）DF=CF，DF⊥CF，（2）.

【解析】

（1）如图1，延长DF交BC于H，由“AAS”可证△DEF≌△HBF，可得DF=FH，DE=BH，可证DC=CH，由等腰直角三角形的性质可得DF=CF，DF⊥CF；

（2）延长DF交BA于点H，连接CH，CD，由“AAS”可证△DEF≌△HBF，可得DF=FH，DE=BH，由“SAS”可证△ADC≌△BHC，可得CH=CD，∠ACD=∠BCH，由由勾股定理和等腰直角三角形的性质可求CF的长．

【解析】
（1）DF=CF，DF⊥CF，

理由如下：如图1，延长DF交BC于H，

∵点F为BE中点，

∴BF=EF，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AD=ED，AC=BC，∠ACB=∠ADE=∠CDE=90°，

∴BC∥DE，

∴∠BHF=∠EDF，且BF=EF，∠DFE=∠BFH，

∴△DEF≌△HBF（AAS）

∴DF=FH，DE=BH，

∵AD=ED=BH，AC=BC

∴DC=CH，且DF=FH，∠ACB=90°，

∴CF=DF，CF⊥DF；

（2）如图2，延长DF交BA于点H，连接CH，CD，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE．

∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中点，

∴EF=BF，且∠DEF=∠HBF，∠EFD=∠BFH，

∴△DEF≌△HBF（AAS），

∴ED=HB=2，DF=FH，

∵AB=6，

∴AH=4

在Rt△HAD中，DH=

∵AD=BH=DE，AC=BC，∠DAC=∠ABC=45°，

∴△ADC≌△BHC（SAS）

∴CH=CD，∠ACD=∠BCH，

∵∠BCH+∠ACH=90°，

∴∠ACD+∠ACH=90°，

∴∠DCH=90°，且CH=CD，DF=FH，

∴CF=DF=FH=．