Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²﹣x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C

（1）求直线AC的解析式；

（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点（不与点A，点C重合），过点P作PD⊥x轴交AC于点D，求PD的最大值；

（3）将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B′，点O平移后的对应点为点O′，点C平移后的对应点为点C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点S的坐标．

Answer

（1）；（2）；（3）（，）或（，）或（）或（）或（）

【解析】

（1），令y=0，则x=-1或-6，故点A、B、C的坐标分别为：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），然后用待定系数法即可求解；（2）设点P（x，），则点D（x，），则PD=-（）=，然后配方法分析其最值，即可求解；（3）分AC是菱形的边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．

【解析】
（1）当y=0时，

解得：x=-1或-6，

当x=0时，y=-3

∴点A、B、C的坐标分别为：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），

设直线AC的表达式为：

将点A、C的坐标代入得：

解得：

∴直线AC的解析式为：

（2）设点P（x，），则点D（x，）

则PD=-（）=

∵−＜0，故PD有最大值为

（3）设直线BC的表达式为：

将点B、C的坐标代入得：

解得：

∴直线BC的解析式为：

①如图3或4中，当四边形ACSO'是菱形时，设AS交CO′于K，AC=AO′=3，

点O平移后的对应点为点O′，平移直线的k为，

则设点O向左平移m个单位，则向上平移3m个单位，则点O′（-m，3m），设点S（a，b），

∴（m+6）2+（-3m）2=（3）2，
解得m=，

∴O′（，）或（，）

由中点公式可得：K（，）或（，），

∵AK=KS，

∴S（，）或（，）

②如图5或6中，当四边形ACO'S是菱形时，设CS交AO′于K，AC=CO′=3，

∵点O平移后的对应点为点O′，平移直线的k为，C（0，-3），设O′（m，-3m），

∴m2+（-3m+3）2=（3）2，

解得m=，

∴O′（）或（），

由中点公式可得：K（）或（），

∵CK=KS，

∴S（）或（）

③如图7中，当四边形ASCO′是菱形时，SO垂直平分线段AC，

直线SO′的解析式为

由 ，

解得 ，

∴O′（）

∵KS=KO′，

∴S（）

综上所述，满足条件的点S坐标为（，）或（，）或（）或（）或（）