Question

如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D₁转到其内的点D₂处，连结D₁D₂，如图2，此时∠AD₂C＝135°，CD₂＝60，求BD₂的长．

Answer

（1）①20；②20或10；（2）30

【解析】

（1）①根据D在AM上还是AM的延长线上分两种情况求解即可.

②由图可知∠MAD不能为直角，当∠AMD或∠ADM=90为直角时，分别应用勾股定理解答即可.

（2）连接CD，先用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2= CD1即可.

（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．

②显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，

∴AM＝20或（﹣20舍弃）．

当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，

∴AM＝10或（﹣10舍弃）．

综上所述，满足条件的AM的值为20或10．

（2）如图2中，连接CD．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，

∵∠AD2C＝135°，

∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝＝30，

∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，

∴∠BAD2＝∠CAD1，

∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD1＝30．