Question

如图，已知抛物线与坐标轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，4），连接BC，AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线在第二象限上的一点，过点E作DE⊥AC于点D，求DE的最大值．

（3）若点E是抛物线上第二象限上的一动点，过点E作DE⊥AC于点D，连接CE，若△CDE与△COB相似，直接写出点E的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣x+4；（2）；（3）或．

【解析】

（1）抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8）即可求解；

（2）∠EHD＝∠ACB＝45°，DE＝EH＝（﹣x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣x2﹣x，即可求解；

（3）分∠BCO＝∠ECD、∠CBO＝∠ECD两种情况，分别求解即可．

（1）抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8），

故﹣8a＝4，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；

（2）过点E作y轴的平行线交AC于点H，

由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝x+4，

设：点E（x，﹣x2﹣x+4），则点H（x，x+4），

∠EHD＝∠ACO＝45°，

DE＝EH＝（﹣x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣x2﹣x，

∵-＜0，故DE有最大值为：；

（3）①当∠BCO＝∠ECD时，

延长AE交x轴于点F，过点F作FG⊥AC角CA的延长线于点G，

则∠AFG＝∠FAG＝45°，设：FG＝AG＝x，AC＝4，

tan∠ECD＝＝，解得：x＝4，

则AF＝x＝8，故点F（﹣12，0），

则直线CF的表达式为：y＝x+4…②，

联立①②并解得：x＝或0（舍去0），

故点E（，）；

②当∠CBO＝∠ECD时，

延长EC交x轴于点F，过点F作FG⊥BC角CB的延长线于点G，

∠ECF＝β+45°+α+∠BCF＝180°，故∠BCF＝45°，

同理可得：点E的坐标为：（，）；

综上，点E的坐标为：（，）或（，）．