Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120︒，AD⊥BC，且AD=AB．

（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD

（2）如图2，如果∠EDF=60︒，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．

   

Answer

(1)见解析；，理由见解析.

【解析】

（1）连接BD，证△ABD是等边三角形，得∠ABD=∠BDA=∠DAB=60︒，再证△BDE≌△ADF(AAS)，AF=BE，故AB=AE+BE；

（2）线段AE，AF，AD之间的数量关系为：，思路如下：

连接BD，模仿（1）证△BDE≌△ADF(AAS)，得，所以.

∵在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120︒

∴∠BAD=∠FAD=60︒

∵AD=AB

∴△ABD是等边三角形

∴∠ABD=∠BDA=∠DAB=60︒

∵DE⊥AB,DF⊥AC

∴∠BED=∠DFA=90︒

在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠DFA，∠EBD=∠FAD，BD=DA，

∴△BDE≌△ADF(AAS)

∴AF=BE

∴AB=AE+BE

∴AB=AE+AF

【解析】
线段AE，AF，AD之间的数量关系为：，理由如下：

连接BD，如图所示：

，，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

在与中，

，

≌，

，

，

．