Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．

（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OD．根据相等的圆心角所对的弧相等，证明∠COD＝∠COB后得证；

（2）证明OD⊥CD即可．通过证明△COD≌△COB得∠ODC＝∠OBC＝90°得证．

证明：（1）连接OD．

∵AD∥OC，

∴∠ADO＝∠COD，∠A＝∠COB．

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO．

∴∠COD＝∠COB．

∴弧BE＝弧DE，即点E是弧BD的中点．

（2）由（1）可知∠COD＝∠COB，

在△COD和△COB中，

，

∴△COD≌△COB，

∴∠CDO＝∠CBO．

∵BC与⊙O相切于点B，

∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°．

∴∠CDO＝90°，即DC⊥OD．

∴CD是⊙O的切线．