Question

“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”

（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　   　；

（2）数学思考：

①如图3，若点E在线段AC上，则＝　   　（用含m，n的代数式表示）；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；

（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．

Answer

（1）1；（2）①；②成立，理由见解析；（3）CE＝2或CE＝

【解析】

（1）先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可．

（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可．

（3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF=2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三种情形分别求解即可．

（1）当m＝n时，即：BC＝AC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝1，

∴＝1，

故答案为1．

（2）①∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，

∴＝，

故答案为．

②成立．如图，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

又∵CD⊥AB，

∴∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠FDE＝∠ADC＝90°，

∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，

即∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴＝，

∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，

∴△ADC∽△CDB，

∴＝＝，

∴＝．

（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，

∵＝＝，

∴＝＝＝，

∴CF＝2AE，

在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，

∴EF＝＝＝2，

①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，

根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍去）

而AC＝＜CE，

∴此种情况不存在，

②当E在AC延长线上时，

在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，

根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（+CE）]2＝40，

∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），

③如图4﹣1，当点E在CA延长线上时，

CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，

根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，

∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，

∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）

即：CE＝2或CE＝．