Question

如图，直线MN与x轴、y轴分别交于A、C两点，分别过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，且OA、OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²﹣14x+48＝0的两个实数根．

（1）求A、C两点的坐标．

（2）求直线MN的表达式．

（3）在直线MN上存在点P，使以点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer

(1) A（8，0），C（0，6）;(2) y＝﹣x+6；;(3) P点的坐标为（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）

【解析】

（1）通过解方程x2-14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．即可得出答案；

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；

（3）需要分类讨论：①当PC=PB时；②当PC=BC时；③当PB=BC时；根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．

（1）∵x2﹣14x+48＝0，

解得：x1＝6，x2＝8．

∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，

∴OC＝6，OA＝8．

∴A（8，0），C（0，6）；

（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．

由（1）知，A（8，0），C（0，6），

∵点A、C都在直线MN上，

∴，

解得：，

∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），过A、C两点作x轴、y轴的垂线相交于B点，

∴B（8，6）．

∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，

∴设P（a，﹣a+6），

当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：如图所示：

①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4，3）；

②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝82，

解得：a＝±，

则P（﹣，）或（，）；

③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，

解得：a＝，

则﹣a+6＝﹣，

∴P（，﹣）．

综上所述，P点的坐标为（4，3）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．