Question

如图1，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE，

（1）求证：△DBC≌△EAC

（2）如图1，令BC＝8，AC与DE交于点O，当AE⊥CE时，求AO的长．

（3）如图2，当图中的点D运动到边BA的延长线上，所作△EDC仍为等边三角形，且有AC⊥CE时，试猜想线段AE与线段CD的位置关系？并说明理由．（自己在图中画出图形后解答）

Answer

（1）见解析；（2）2；（3）AE垂直平分线段CD，理由见解析

【解析】

（1）已知的条件有AC＝BC，CE＝CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了（SAS）．

（2）首先证明AE∥BC，解直角三角形求出AE，OA即可解决问题．

（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通过先证明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC＝∠B＝60°，又由∠ABC＝∠ACB＝60°，得出这两条线段之间的内错角相等，从而得出平行的结论．

【解析】
（1）证明：如图1中，

∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°

∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD

∴∠BCD＝∠ACE

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

【解析】
（2）∵△DBC≌△EAC

∴∠EAC＝∠B＝60°

又∠ACB＝60°

∴∠EAC＝∠ACB

∴AE∥BC，

∵EC⊥AE，

∴∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，

∴AE＝AC＝4，

∴∠DEC＝60°，

∴∠AEO＝30°，

∵∠EAO＝60°，

∴∠AOE＝180°﹣∠AEO﹣∠EAO＝90°，'

∴OA＝AE＝2．

（3）结论：AE垂直平分线段CD．

理由：如图2中，设AE交CD于O．

∵△ABC、△EDC为等边三角形

∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°

∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC＝∠B＝60°

又∵∠ACB＝60°

∴∠EAC＝∠ACB＝60°，

∵EC⊥AC，

∴∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°﹣60°＝30°，

∵∠DEC＝60°，

∴∠DEO＝∠CEO＝30°，

∵ED＝EC，

∴EA垂直平分线段CD．