Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点且与AC的另一个交点为F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）AB＝12，∠BAC＝60°，求线段DE，EF与所围成的阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析：（2）

【解析】

（1）连接，利用等腰三角形三线合一性质得到，利用的圆周角所对的弦为直径即可得证为直径；由分别为中点，利用中位线定理得到与平行，可得到∠为直角，再由为半径，即可得证；

（2）由，且∠°，得到为等边三角形，连接OF，DF也可证得△ODF为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理可确定出的长，再由S阴影＝S梯形ODEF﹣S扇形ODF求得答案.

（1）如图1，连接AD，OD．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴∠ADB＝90°．

∴AB是⊙O的直径，即点O为AB的中点，

∴OD∥AC，

∴∠ODE＝∠DEC，

∵DE⊥AC，

∴∠ODE＝∠DEC＝90°，

∴DE是⊙O的切线．

（2）连接OF，DF．

∵OA＝OF，∠BAC＝60°，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠BAC＝∠AOF＝∠AFO＝60°，

∵OD∥AC，

∴∠DOF＝∠AFO＝60°，

又∵OD＝OF，

∴△ODF是等边三角形，

∴OD＝DF，∠ODF＝60°，

∴∠FDE＝∠ODE﹣∠ODF＝30°，

∵AB是⊙O的直径，AB＝12，

∴OD＝DF＝6，

∴EF＝3，

由勾股定理得，

∴S阴影＝S梯形ODEF﹣S扇形ODF＝