Question

如图，在△PAB中，M．N是AB上两点，△PMN是等边三角形，∠APM＝∠B．

（1）求证：∠A＝∠BPN；

（2）求证：MN²＝AM·BN；

（3）若AP＝，AM＝1，求线段MN，PB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）见解析；（3）MN＝2，

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可证得∠AMP＝∠PNB=，又∠APM＝∠B，可证得△APM∽△PBN，从而证明了∠A＝∠BPN；

（2）由（1）的结论△APM∽△PBN得到，根据等量代换可证得结论；

（3）容易证明△APM∽△ABP，由其对应边成比例及已知，求得,设MN＝x，根据(2)的结论构建方程，求得等边三角形的边长，再根据相似三角形对应边成比例求得最后答案.

（1）证明：∵△PMN是等边三角形，

∴∠PMN＝∠PNM＝60°，

∴∠AMP＝∠PNB=120°，

∵∠APM＝∠B，

∴△APM∽△PBN，

∠A＝∠BPN；

（2）【解析】
∵∠APM＝∠B，∠A＝∠BPN，

∴△APM∽△PBN，

∴ ，即PM·PN＝AM·BN，

∵MN＝PM＝PN，

∴MN 2＝AM•BN；

（3）【解析】
∵∠A＝∠A，∠APM＝∠B，

∴△APM∽△ABP，

∴，

∴，

设MN＝x，则PM＝MN＝x，BN＝6﹣x，

∵MN 2＝AM•BN，

∴x2＝1×（6﹣x），

解得x1＝2，x2＝﹣3（舍去），

∴PM＝MN＝2，

∵，

∴