Question

如图，抛物线y＝（x+2）²+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标；

（2）判断△ABM的形状，并证明你的结论；

（3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer

（1）；抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1；A（﹣3，0）；C（0，3）；D（﹣4，3）；（2）△ABM是等腰直角三角形；见解析；（3）存在，理由见解析；

【解析】

（1）把B（﹣1，0）代入抛物线解析式可求出抛物线的解析式，分别令x=0和y=0可求得A，C的坐标，利用抛物线是轴对称的性质可求得D的坐标；

（2）作MN⊥x轴，利用抛物线是轴对称的性质以及特殊角的三角函数可求得∠MAN＝∠MBN＝45°，从而得到△ABM是等腰直角三角形；

（3）需要分类讨论：△ABD∽△PDC、△ABD∽△CDP，根据相似三角形的性质求得的长度，然后可求得点的坐标．

【解析】
（1）把B（﹣1，0）代入抛物线解析式得，

（﹣1+2）2+m＝0，

解得m＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1，

当y＝0时，（x+2）2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，

∴A（﹣3，0）．

当x＝0时，y＝（x+2）2﹣1＝3，

∴C（0，3）

∵抛物线对称轴是直线x＝﹣2，C，D两点关于抛物线对称轴对称，

∴D（﹣4，3）；

（2）△ABM是等腰直角三角形；

证明：∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点是M，

∴M（﹣2，﹣1），

作MN⊥x轴于N，则N（﹣2，0）．

∴AN＝BN＝MN＝1，

∴AM＝BM，

tan∠MAN＝tan∠MBN＝1，

∴∠MAN＝∠MBN＝45°，

∴∠AMB＝180°﹣∠MAN﹣∠MBN＝90°，

∴△ABM是等腰直角三角形；

（3）存在，理由：

①当△ABD∽△PDC时，

，即：，

则PD＝ ，

过点P分别作x、y轴的垂线交于点M、N，

则PM＝＝DM，

则点P（，）；

②当△ABD∽△CDP时，

同理可得：点P（2，﹣3）

综上，点P（，）或P2（2，﹣3）