Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+8ax(a>0)与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴与x轴交于H，与过O，A，M三点的⊙Q交于点B，⊙Q的半径为5，点C从点B出发，沿着圆周顺时针向点M运动，射线MC与x轴交于D，与抛物线交于E，过点E作ME的垂线交抛物线的对称轴于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点C的运动路径长为 时，求证：HD=2HA.

(3)在点C运动过程中．是否存在这样的位置，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△AHQ相似?若存在，求出此位置时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)y=x2+4x；(2)证明见解析；(3)存在，E(， )或E(， )

【解析】

(1)利用函数解析式，由y=0可求出抛物线与x轴的两交点坐标，利用垂径定理求出AH的长，再在Rt△AHQ中，利用勾股定理求出HQ的长，由半径为5，可求出点M的坐标，然后将点M的坐标的函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值.

(2)利用弧长公式求出n的值，根据圆周角定理求出∠BMC的度数，在Rt△HMD中，利用勾股定理求出HD的长，再根据MH=2AH，可证得结论.

(3)分情况讨论：①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA，利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长，可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式，然后求出两函数的交点坐标；②当∠EMF=∠QAH时,△MEF∽△AHQ，利用相似三角形的对应边成比例求出HD的长，可得到点D的坐标，再利用待定系数法求出直线MD的函数解析式，然后求出两函数的交点坐标，即可得到符合题意的点E的坐标.

【解析】
(1)令y=0,得ax2+8ax=0,解得x1=-8,x2=0，

∴A(-8，0)

由垂径定理,得AH=AO=4,

在Rt△AHQ中, HQ=，

∴HM=HQ+QM=3+5=8，

∴M(-4，-8)

把M(-4,-8)代入抛物线得，

解得a=，

∴抛物线的解析式为y=x2+4x

(2)∵点C的路径为,

∴，解得n=120°，

∴∠BMC==60°,

在Rt△HMD中, HD==MH

∵MH=8,AH=4,即MH=2HA

∴HD=2HA

(3)存在，E点坐标为(， )或(， )，理由如下：

已知∠FEM=∠AHQ=90°，

①当∠EMF=∠HQA时,△MEF∽△QHA,

此时△MHD∽△QHA,

∴,即

解得HD=，

∴OD=

∴D(0)，

设直线MD解析式为，将M(-4，-8)，D(0)代入得，

，解得，

∴直线MD的解析式为y=x-5,

将直线MD与抛物线联立得，

，解得或

此时E点坐标为(，)；

②当∠EMF=∠QAH时，△MEF∽△AHQ,

此时△MHD∽△AHQ,

∴，即

解得HD=6，

∴OD=6-4=2

∴D(2,0),

设直线MD解析式为，将M(-4，-8)，D(2，0)代入得，

，解得，

∴直线MD的解析式为

将直线MD与抛物线联立得，

，解得或

此时E点坐标为(，)；

综上所述，E点坐标为(， )或(， ).