Question

如图，在四边形中，，点为上一点，，分别平分，.

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，，则四边形的面积为______（直接写出结果）.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24.

【解析】

（1）由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC=180°，由角平分线的性质可得∠DAE=∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠CBE=∠ABC，可求得∠BEA=90°，即可得结论；
（2）延长AE，BC交于点F，由平行线的性质可得∠DAE=∠F=∠BAE，可得AB=BF，由等腰三角形的性质可得AE=EF，由“ASA”可证△ADE≌△FCE，可得AD=CF，即可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得S△ADE=S△FCE，可得S四边形ABCD=S△ABF，由三角形面积公式可求解．

证明：（1）∵AD∥BC，

∴，

又，分别平分，，

∴∠DAE=∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠CBE=∠ABC，

∴，

∴∠BEA=90°，

∴；

（2）延长AE，BC交于点F，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵∠DAE=∠F，∠AED=∠FEC，

∴，

∴，

∴；

（3））∵AE=4，
∴EF=4，
∴AF=8，
∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCD=S△ABF，
∴S四边形ABCD=AF×BE=24，
故答案为：24.