Question

如图，中，，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作的平分线交于点；

②作边的垂直平分线，与相交于点；

③连接，.

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段，，之间的数量关系是________；

（2）若，求的度数.

Answer

（1）；（2）80°.

【解析】

（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；

（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．

（1）如图，PA=PB=PC，理由是：

∵AB=AC，AM平分∠BAC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

∵EP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

∴PA=PB=PC；

故答案为PA=PB=PC；

（2）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠BAC=180°-2×70°=40°，

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD=20°，

∵PA=PB=PC，

∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，

∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．