Question

探究题：

（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接.填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）.

②线段、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）.

（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接.请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题：在（2）问的条件下，若，，试求的面积（用，表示）.

Answer

（1）①；②；（2），， 理由见解析； （3）.

【解析】

（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CH＋BE；

（3）由（2）知，BE＝AD＝x＋y，AE＝BE＋2CM＝x＋y＋2（x−y）＝3x−y，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解析】
（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．

∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴∠ADC＝∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝60°．

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝120°．

∴∠BEC＝120°．

∴∠AEB＝∠BEC−∠CED＝60°．

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE．

故答案为①.②.

（2）猜想：①，②.

理由如下：如图，

∵和均为等腰直角三角形，

∴，，.

∴.

在和中，

，

∴，

∴，.

∵为等腰直角三角形，

∴.

∵点，，在同一直线上，

∴，

∴.

∴.

∵，，

∴.

∵，

∴，

∴.

（3）由（2）知，，

，

∴

.