Question

阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：

①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：

（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i²＝3i﹣1

②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．

（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝　  　；（1+2i）³（1﹣2i）³＝　   　；

（2）若a+bi是（1+2i）²的共轭复数，求（b﹣a）^a的值；

（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a²+b²）（i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁹）的值．

Answer

（1）7i﹣9；125;（2）（b﹣a）a的值为﹣1;（3）（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝﹣5﹣5i．

【解析】

（1）按照定义计算即可；

（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；

（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．

（1）（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9；

（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125；

故答案为：7i﹣9；125．

（2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，

又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，

∴a＝﹣3，b＝﹣4，

∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1，

∴（b﹣a）a的值为﹣1．

（3）∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，

∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，

∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，

∴ab＝2，a+b＝﹣3，

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5，

∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，

i2+i3+i4+…+i2019有2018个加数，2018÷4＝504…2，

∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016•i2+i2016•i3＝﹣1﹣i，

∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i．