用四个长为m,宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形.
(1)根据图形写出一个代数恒等式: ;
(2)已知3m+n=9,mn=6,试求3m﹣n的值;
(3)若m+n=1,求m2+n2的最小值.
阅读材料:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫做复数,a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部.它有如下特点:
①它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似例如计算:
(2+i)+(3﹣4i)=(2+3)+(1﹣4)i=5﹣3i;(3+i)i=3i+i2=3i﹣1
②若他们的实部和虚部分别相等,则称这两个复数相等若它们的实部相等,虚部互为相反数,则称这两个复数共轭,如1+2i的共轭复数为1﹣2i.
(1)填空:(3i﹣2)(3+i)= ;(1+2i)3(1﹣2i)3= ;
(2)若a+bi是(1+2i)2的共轭复数,求(b﹣a)a的值;
(3)已知(a+i)(b+i)=1﹣3i,求(a2+b2)(i2+i3+i4+…+i2019)的值.
学校近期举办了一年一度的经典诵读比赛.某班级因节目需要,须购买A、B两种道具.已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元,购买2件A道具和3件B道具共需要45元.
(1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元?
(2)根据班级情况,需要这两种道具共60件,且购买两种道具的总费用不超过620元.
①请问道具A最多购买多少件?
②若其中A道具购买的件数不少于B道具购买件数,该班级共有几种方案?试写出所有方案,并求出最少费用为多少元?
观察下列等式:
等式1: ;等式2: ;等式3: ;
(1)猜想验证:根据观察所发现的特点,猜想第4个等式为 ,第9个等式为 ,并通过计算验证两式结果的准确性;
(2)归纳证明:由以上观察探究,归纳猜想:用含n的式子表示第n个等式所反映的运算规律为 ,证明猜想的准确性.
已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根,b的立方根是﹣2,c算术平方根是其本身,求2a+b﹣3c的值.
化简求值:(x+2y)(2y﹣x)﹣(x+y)2,其中x=,y=﹣2.