Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E. F．

(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若BD=2，BF=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）相切，理由见解析;（2）2．

【解析】

(1)求出OD//AC，得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；

(2)根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD,

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，

∵OD为半径，

∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；

(2)设⊙O的半径为R，

则OD=OF=R，

在Rt△BDO中,由勾股定理得：OB=BD+OD，

即(R+2) =(2)+R，

解得：R=2，

即⊙O的半径是2.