Question

如图，AC是的直径，BC切于点C，AB交于点D，BC的中点为E，连接DE.

（1）求证：

（2）连接E0交于点F填空：

①当__________时，以D，E，C，O为顶点的四边形是正方形；

②当______________时，以A，D，E，O为顶点的四边形是平行四边形

Answer

（1）答案见解析；（2）①45°；②45°

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角和直角三角形斜边中线的性质即可证明；（2）①如图，当∠B=45°时，以D，E，C，0为顶点的四边形是正方形；根据直径所对的圆周角是90°和全等三角形的判定先证△EOD≌△EOC，再结合（1）和∠B=45°，即可证四边形为正方形；②如图，利用①可证DE=OA，DE∥OA即可.

证明：（1）∵AC是直径

∴∠ADC=90°

∴∠BDC=90°

∴△BCD是直角三角形

又∵BE=CE

∴DE=CE=BE

∴BE=DE

（2）①连接OE,OD，如图，当∠B=45°时，以D，E，C，O为顶点的四边形是正方形

理由：∵BC是的切线

∴AC⊥BC，∠ACB=90°

∵OD=OC，OE=OE，DE=CE

∴△EOD≌△EOC（SSS）

∴∠EDO=∠ECO=90°

∵EB=ED

∴∠B=∠EDB=45°

∴∠DEC=∠B+∠EDB=90°

∴四边形DECO是矩形

∵OD=OC

∴矩形DECO是正方形

故答案为45°；

②如下图，结论∠B=45°

理由：当∠B=45°时，由①可知四边形DECO是正方形

∴DE∥OC，DE=OC

∵OA=OC

∴DE=OA

∴DE=OA，且DE∥OA

∴四边形ADEO是平行四边形

故答案为45°.