Question

如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB，点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE，连接EA，EA满足条件EA⊥AB，

(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的长度.

(2)求证：AE＝AF+BC.

(3)如图2，点F是线段BA延长线上一点，探究AE、AF、BC之间的数量关系，并证明你的结论.

Answer

(1)AB=4；(2)证明见解析；(3)AE+AF＝BC.

【解析】

（1）如图1（见解析），在等腰中，得，再由三角形内角和定理得，则，在中可得；

（2）如图1（见解析），过D作于M，得，又，可证，则；同理可证得，则，即得证；

（3）如图2（见解析），过D作，交AE的延长线于M，易得，证得，则；同理可证得，则，故有，即得证.

（1）如图1，在等腰中，

在中，

在中可得；

（2）如图1，过D作于M

在和中，

又

在和中，

即，得证；

（3）AE、AF、BC之间的数量关系为：，证明如下：

如图2，过D作，交AE的延长线于M

在和中，

又

在和中，

即，得证.