Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．

（1）求证：CD=BE；

（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据AD//BE可得∠DAE=∠E，由AE平分∠BAD可得∠DAE=∠EAB进而可得∠EAB=∠E，即可证明CD=BE.（2）根据平行四边形的性质可知AD=DF，由DF=CF，∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE可证明△ADF≌△ECF，得AF=EF，由DG是等腰三角形ADF的高可知AG=GF，根据勾股定理可求出AG的长，由AE=2AF求出AE的长即可.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD//AB，

∴∠DAE=∠E，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠EAB，

∴∠EAB=∠E，

∴CD=BE.

（2）∵CD//AB.

∴∠BAF=∠DFA.

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠EAB，

∴∠DAF=∠DFA.

∴DA=DF.

∵F为DC中点，AB=4，

∴DF=CF=AD=2，

∵DG⊥AE，DG=1，

∴AG=GF=，AF=2AG=2，

∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.

∴△ADF≌△ECF.

∴AF=EF.

∴AE=2AF=4.