Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE，与AE的延长线交于D点，与AB的延长线交于F点。求证CD=AE

Answer

证明见解析

【解析】

首先证明△CBF≌△ABE可得CF=AE，再证明△ACD≌△AFD可得CD=DF=CF，再进行等量代换可得结论CD=AE．

证明：∵CD⊥AE，

∴∠ADC=90°，

∴∠4+∠3=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠3=∠2，

∴∠1=∠4，

在△CBF和△ABE中， ，

∴△CBF≌△ABE（ASA），

∴CF=AE，

∵AE是∠BAC的角平分线，CD⊥AE，

∴∠1=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°，

在△ACD和△AFD中，，

∴△ACD≌△AFD（ASA），

∴CD=DF=CF，

∵AE=CF，

∴CD=AE．