Question

已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC与E、F点。

（1）如图，若EF∥AB，求证DE=DF

（2）如图，若EF与AB不平行，则问题（1）的结论是否成立？说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE=DF； 

（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM=DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解．

【解析】
（1）∵EF∥AB．

∴∠FEC=∠A=30°．

∠EFC=∠B=30°

∴EC=CF．

又∵AC=BC

∴AE=BF

D是AB中点．

∴DB=AD

∴△ADE≌△BDF．

∴DE=DF 

（2）如图2，过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．,

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

又∵∠ACB=120°，

∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=30°，

∴∠ADM=∠BDN=60°，

∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°．

∵AC=BC、AD=BD，

∴∠ACD=∠BCD，

∴DM=DN．

由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：

当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：

DM=DE、DN=DF，结合证得的DM=DN，得：DE=DF，但EF∥AB，不合题意．

当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：

∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF，

∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF，

∴∠EDM=∠FDN，

又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：

∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN，

∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN，

∴∠EDM=∠FDN，

又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

综上①②③所述，得：DE=DF．