Question

如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；

（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；

（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）

Answer

（1）∠BOC＝70°；（2）存在，t＝2，t＝8或32；（3）或.

【解析】

（1）由图可知∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∠AOC可利用角平分线及平角的定义求出.

（2）分OA平分∠COD，OC平分∠AOD，OD平分∠AOC三种情况分别进行讨论，建立关于t的方程，解方程即可.

（3）分别用含t的代数式表示出∠COD和∠BOD，再根据OC平分∠BOD建立方程解方程即可，注意分情况讨论.

（1）【解析】
∵∠COE＝140°，

∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，

又∵OA平分∠COD，

∴∠AOC＝∠COD＝20°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；

（2）存在

①当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10°t＝20°，解得：t＝2；

②当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠DOC，即10°t﹣40°＝40°，解得：t＝8；

③当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360°﹣10°t＝40°，解得：t＝32；

综上所述：t＝2，t＝8或32；

（3）或，理由如下：

设运动时间为t，则有

①当90+10t＝2（40+15t）时，t＝

②当270﹣10t＝2（320﹣15t）时，t＝

所以t的值为或．