Question

如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝．其中正确的有_____．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②④．

【解析】

求出∠EBD＋∠ABC＝90°，∠DBG＋∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根据角平分线的定义即可判断①；根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根据平行线的判定即可判断②；根据余角的定义即可判断③；根据平行线的性质得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝∠EBG＝α，根据平行线的性质得出∠EBD＋∠BDF＝180°，即可判断④．

∵BD⊥BC，

∴∠DBC＝90°，

∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，

∵BD平分∠EBG，

∴∠EBD＝∠DBG，

∴∠ABC＝∠GBC，

即BC平分∠ABG，故①正确；

∵AE∥CF，

∴∠ABC＝∠BCG，

∵CB平分∠ACF，

∴∠ACB＝∠BCG，

∵∠ABC＝∠GBC，

∴∠ACB＝∠GBC，

∴AC∥BG，故②正确；

与∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4个，故③错误；

∵AC∥BG，∠A＝α，

∴∠EBG＝∠A＝α，

∵∠EBD＝∠DBG，

∴∠EBD＝∠EBG＝，

∵AB∥CF，

∴∠EBD+∠BDF＝180°，

∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正确；

故答案为：①②④．