Question

如图1，在三角形ABC中，D是BC上一点，且∠CDA＝∠CAB．（注：三角形内角和等于180°）

（1）求证：∠CDA＝∠DAB+∠DBA；

（2）如图2，MN是经过点D的一条直线，若直线MN交AC边于点E，且∠CDE＝∠CAD．求证：∠AED+∠EAB＝180°；

（3）将图2中的直线MN绕点D旋转，使它与射线AB交于点P（点P不与点A，B重合）．在图3中画出直线MN，并用等式表示∠CAD，∠BDP，∠BPD这三个角之间的数量关系，不需证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB.

【解析】

（1）根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）根据三角形的内角和得到∠B＝∠CDE，得到MN∥BA，根据平行线的性质证明；

（3）根据三角形的外角性质证明．

（1）∵∠C+∠CAD+∠ADC＝∠C+∠CAB+∠B＝180°，

∴∠CAD+∠ADC＝∠CAB+∠B，

∵∠CDA＝∠CAB，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝∠ABC+∠DAB，

∴∠CDA＝∠DAB+∠DBA；

（2）∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，

∴180°-∠CDA-∠C＝180°-∠CAB -∠C

∴∠B＝∠CAD，

∵∠CDE＝∠CAD，

∴∠B＝∠CDE，

∴MN∥BA，

∴∠AED+∠EAB＝180°；

（3）∠CAD＝∠BDP+∠DPB

证明：由三角形的外角的性质可知，∠ABC＝∠BDP+∠DPB，

∵∠CDA＝∠CAB，∠C＝∠C，

∴∠B＝∠CAD，

∴∠ABC＝∠BDP+∠DPB．

∴∠CAD＝∠BDP+∠DPB.