Question

如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，连结AE、DE、DC，且AE=CD．

（1）求证：△ABE≌△CBD；

（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．

【解析】

（1）利用HL证明三角形全等即可；

（2）利用等腰直角三角形的性质求出∠CAB的度数，再由三角形外角的性质得到∠BEA度数，由全等三角形对应角相等即可得到∠BDC=∠BEA．

（1）证明：∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，

∴∠ABE=∠CBD=90°，

在Rt△ABE和Rt△CBD中，

∴Rt△ABE≌Rt△CBD；

（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，

∴∠CAB=45°，

又∵∠CAE=30°，

∴∠BEA=75°，

∵△ABE≌△CBD，

∴∠BDC=∠BEA=75°．