Question

如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上.

（1）求证：△BAD≌△CAE；

（2）猜想BD，CE有何特殊位置关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD⊥CE，理由见解析.

【解析】

（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得；

（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDC=90°，需证∠DBC+∠DCB =90°，可由直角三角形提供．

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）BD⊥CE，理由如下：

由（1）知，△BAD≌△CAE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BDC=90°，即BD⊥CE．