Question

已知抛物线y＝a(x﹣3)²+过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切.正确的结论是(    )

A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④

Answer

B

【解析】

①根据抛物线的解析式即可判定；

②求得AD、CD的长进行比较即可判定，

③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE＝AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；

④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定；

由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：抛物线的对称轴x＝3，故①正确；

∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，

∴4＝9a+，解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+，

令y＝0，则﹣(x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，

∴A(﹣2，0)，B(8，0)；

∴AB＝10，

∴AD＝5，

∴OD＝3

∵C(0，4)，

∴CD＝,

∴CD＝AD，

∴点C在圆上，故②错误；

过点C作CE∥AB，交抛物线于E，

∵C(0，4)，

代入y＝﹣(x﹣3)2+得：4＝﹣(x﹣3)2+，

解得：x＝0，或x＝6，

∴CE＝6，

∴AD≠CE，

∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；

由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：M(3，)，

∵C(0，4)，

∴直线CM为y＝x+4，直线CD为：y＝x+4，

∴CM⊥CD，

∵CD＝AD＝5，

∴直线CM与⊙D相切，故④正确；

故选：B.