Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AB相交于点E.

(1)判断直线BC与⊙D的位置关系，并证明你的结论.

(2)若AC＝3，BC＝5，求BE的长.

Answer

(1)直线BC与⊙D相切，理由见解析；(2)BE=1.

【解析】

(1)过D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DA＝DF，根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据勾股定理得到AB＝＝4，根据全等三角形的性质得到CF＝AC＝3，求得BF＝2，根据切割线定理即可得到结论.

(1)直线BC与⊙D相切，

理由：过D作DF⊥BC于F，

∴∠CFD＝∠A＝90°，

∵CD平分∠ACB，

∴DA＝DF，

∴直线BC与⊙D相切；

(2)∵∠BAC＝90°，AC＝3，BC＝5，

∴AB＝＝4，

在Rt△ACD与Rt△FCD中,

∴Rt△ACD≌Rt△FCD(HL)，

∴CF＝AC＝3，

∴BF＝2，

∵BF是⊙D的切线，

∴BF2＝BA•BE，

∴.