Question

已知，如图，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.

(1)求这个二次函数关系式.

(2)当△EFR周长最大时.

①求此时点E点坐标及△EFR周长.

②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.

Answer

(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.

【解析】

(1)用交点式函数表达式，即可求解；

(2)①证明△ERF为等腰直角三角形，当△EFR周长最大时，EF最长，EF＝﹣m2+3m，即可求解；

②HQ＝OP，利用OP≤OM+PM＝，即可求解.

(1)用交点式函数表达式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3；

(2) ①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

∵∠CBO＝∠FER，∴△ERF∽△BOC，

∴△ERF为等腰直角三角形.

当△EFR周长最大时，EF最长，

设E(m，﹣m2+2m+3)，F(m，﹣m+3)，

∴EF＝﹣m2+3m，

∴当m＝时，EF最长，EF＝，

∴E(，)，

则Rt△EFR中，ER＝FR＝，

∴△EFR周长为+；

②如图，连接OP，点H(，0)为OB的中点，

∵Q是PB的中点，∴HQ∥OP，且HQ＝OP，

∵EF＝，FH＝，

∴点M(，)，

∴OM＝BM＝,

∵OP≤OM+PM＝，

∴HQ≤，

即HQ的最大值大为：+.