Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣2（k﹣1）x+k²﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根x₁，x₂．

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁，x₂满足x₁²+x₂²﹣x₁x₂＝24，求k的值．

Answer

（1）k＜3；（2）k＝﹣2

【解析】

（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△＝[−2（k−1）]2−4（k2−k−2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

（2）利用根与系数的关系求得x1＋x2、x1x2的值，然后将其代入（x1＋x2）2−3x1x2＝24，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．

【解析】
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣k﹣2）＞0，

解得：k＜3；

（2）∵x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣k﹣2，

又∵x12+x22﹣x1x2＝24，

∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝24，

∴[2（k﹣1）]2﹣3（k2﹣k﹣2）＝24，

解得：k1＝﹣2，k2＝7，

∵k＜3，

∴k＝﹣2